Lời giải:
a) Ta có:
\(P=n^3-n^2-n-2=n^3-2n^2+n^2-2n+n-2\)
\(=n^2(n-2)+n(n-2)+(n-2)=(n^2+n+1)(n-2)\)
Để \(P>0\Rightarrow n>2 \). Vậy 2 thừa số đều dương.
Do tính chất của số nguyên tố nên để $P=(n^2+n+1)(n-2)$ là số nguyên tố thì một trong 2 thừa số phải bằng $\(1\)$
Vì \(n^2+n+1> n-2 \forall n>2\) nên \(n-2=1\Leftrightarrow n=3\)
Thử lại thấy \(P=13\) thỏa mãn
Vậy $n=3$
b)
\(Q=n^2-5n+4=n^2-n-4n+4=n(n-1)-4(n-1)=(n-4)(n-1)\)
Để \(Q>0\Rightarrow n> 4\) hoặc $n< 1$. Dễ thấy $n< 1$ không thỏa mãn nên $n> 4$
Khi đó, cả 2 thừa số đều dương.
Để $Q$ là số nguyên tố thì một trong 2 thừa số $n-4,n-1$ phải bằng $1$
Mà \(n-4< n-1\Rightarrow n-4=1\Rightarrow n=5\)
Thử lại thấy $Q=4$ không phải nguyên tố, vậy không tồn tại $n$ thỏa mãn.
c)
Dễ thấy $n=0$ không thỏa mãn. Xét $n>0$
\(R=n^4+4=n^2+2^2=n^2+2^2+2.2n^2-4n^2\)
\(=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\)
Dễ thấy 2 thừa số đều dương.
Để $R$ là số nguyên tố thì bắt buộc một trong 2 thừa số trong phân tích của $R$ phải bằng $1$
Mà \(n^2-2n+2< n^2+2n+2, \forall n>0\)
\(\Rightarrow n^2-2n+2=1\Leftrightarrow n^2-2n+1=0\Leftrightarrow (n-1)^2=0\Leftrightarrow n=1\)
Thử lại thấy $R=5$ là số nguyên tố (thỏa mãn)
Vậy $n=1$
