Question

Tìm số tự nhiên n để:

a) 9n+24 và 3n+4

b) 4n+3 và 2n+3

c)18n+3 và 21n+7

là các số nguyên tố cùng nhau

Answer 1

1.c)1. Xét n chẵn, hai số đều chẵn → không nguyên tố cùng nhau
2.2. Xét n lẻ, ta chứng minh 2 số này luôn nguyên tố cùng nhau
\(9n+24=3\left(3n+8\right)\)
Vì \(3n+4⋮̸3\), nên ta xét tiếp \(3n+8\)
Giả sử \(k\) là ước số của\(3n+ 8\)và \(3n+4\), đương nhiên\(k\) lẻ\(\left(1\right)\)
\(\rightarrow k\) cũng là ước số của \(\left(3n+8\right)-\left(3n+ 4\right)=4\rightarrow k\)chẵn\(\left(2\right)\)
Từ\(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) Mâu thuẫn
Vậy với \(n\) lẻ, \(2\) số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau.