a/ \(p\) là số nguyên tố \(\Leftrightarrow p\in\left\{2;3;5;7;........\right\}\)
+) \(p=2\Leftrightarrow p+2=4\) (hợp số) \(\rightarrow loại\)
+) \(p=3\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}p+2=2+3=5\\p+10=3+10=13\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn)
+) \(p>3\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)
+) \(p=3k+1\Leftrightarrow p+2=\left(3k+1\right)+2=3k+3⋮3\left(loại\right)\)
+) \(p=3k+2\Leftrightarrow p+10=\left(3k+2\right)+10=3k+12⋮3\left(loại\right)\)
Vậy \(p=3\)
còn lại tương tự
Lời giải:
Nếu \(p\vdots 3\Rightarrow p=3\) (vì $p$ nguyên tố)
Khi đó:
a) \((p+2,p+10)=(5,13)\in\mathbb{P}\)
b) \((p+10,p+20)=(13,23)\in\mathbb{P}\)
c) \((p+10,p+14)=(13,17)\in\mathbb{P}\)
d) \((p+8,p+10)=(11,13)\in\mathbb{P}\)
e) \((p+4,p+8)=(7,11)\in\mathbb{P}\)
(Thỏa mãn)
Nếu $p$ chia $3$ dư $1$. Khi đó $p$ có dạng \(3k+1\)
Lúc này ta có:
\(p+2=3k+3=3(k+1)\vdots 3\) và \(p+2>3\Rightarrow p+2\not\in\mathbb{P}\) (không thỏa mãn phần a)
\(p+20=3k+21=3(k+7)\vdots 3\) và \(p+20>3\Rightarrow p+20\not\in\mathbb{P}\)
(không thỏa mãn phần b) \(p+14=3k+15=3(k+5)\vdots 3; p+14>3\Rightarrow p+14\not\in\mathbb{P}\) (không thỏa mãn phần c) \(p+8=3k+9=3(k+3)\vdots 3; p+8>3\Rightarrow p+8\not\in\mathbb{P}\) (không thỏa mãn phần d,e) Do đó $p=3k+1$ không thỏa mãn Nếu $p$ chia $3$ dư $2$ thì $p=3k+2$ Khi đó: \(p+10=3k+12=3(k+4)\vdots 3; p+10>3\Rightarrow p+10\not\in\mathbb{P}\) (không thỏa mãn phần a,b,c,d) \(p+4=3k+6=3(k+2)\vdots 3; p+4>3\Rightarrow p+4\not\in\mathbb{P}\) (không thỏa mãn phần e) Do đó $p=3k+2$ không thỏa mãn. Từ các TH trên suy ra $p=3$ là kết quả duy nhất.
