Question

Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là số lập phương?

Answer 1

Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³.

Nếu p > 2\(\Rightarrow\) p lẻ (vì số nguyên tố chẵn duy nhất là 2).

Mặt khác: 2p + 1 là 1 số lẻ \(\Rightarrow\) n³ là một số lẻ \(\Rightarrow\) n là một số lẻ.

\(\Rightarrow\) 2p + 1 = (2k + 1)³( với n = 2k + 1 )

\(\Leftrightarrow\) 2p + 1 = 8k³ + 12k³ + 6k + 1

\(\Leftrightarrow\) p = k(4k² + 6k + 3)

\(\Rightarrow\) p \(⋮\) k
=> k là ước số của số nguyên tố p.

Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p.

Khi k = 1
\(\Rightarrow\) p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận)

Khi k = p
\(\Rightarrow\) (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1
\(\Rightarrow\) không có giá trị p nào thỏa mãn.
Vậy p=13.