Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n3.
Nếu p > 2\(\Rightarrow\) p lẻ (vì số nguyên tố chẵn duy nhất là 2).
Mặt khác: 2p + 1 là 1 số lẻ \(\Rightarrow\) n3 là một số lẻ \(\Rightarrow\) n là một số lẻ.
\(\Rightarrow\) 2p + 1 = (2k + 1)3( với n = 2k + 1 )
\(\Leftrightarrow\) 2p + 1 = 8k3 + 12k3 + 6k + 1
\(\Leftrightarrow\) p = k(4k2 + 6k + 3)
\(\Rightarrow\) p \(⋮\) k
=> k là ước số của số nguyên tố p.
Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p.
Khi k = 1
\(\Rightarrow\) p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận)
Khi k = p
\(\Rightarrow\) (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1
\(\Rightarrow\) không có giá trị p nào thỏa mãn.
Vậy p=13.
