Giải:
Đặt \(2p+1=n^3\)
Ta có:
Nếu \(p=2\) thì \(2p+1=5\) (loại)
Nếu \(p>2\Rightarrow p\) lẻ (do số nguyên tố chẵn duy nhất là \(2\))
Mặt khác \(2p+1\) là số lẻ \(\Rightarrow n^3\) lẻ \(\Rightarrow n\) lẻ
\(\Rightarrow2p+1=\left(2k+1\right)^3\left(n=2k+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2p+1=8k^3+12k^2+6k+1\)
\(\Leftrightarrow p=k\left(4k^2+6k+3\right)\)
\(\Rightarrow p⋮k\Rightarrow k\inƯ\left(p\right)\)
Do \(p\) là số nguyên tố nên \(\left[{}\begin{matrix}k=1\\k=p\end{matrix}\right.\)
Với \(k=1\Rightarrow p=\left(4.1^2+6.1+3\right)=13\) (chọn)
Với \(k=p\Rightarrow p=\left(4k^2+6k+3\right)=\left(4p^2+6p+3\right)=1\)
Mà \(p>2\Rightarrow\left(4p^2+6p+6\right)>2>1\Rightarrow\) loại
Vậy \(p=13\) thì \(2p+1\) là số lập phương
