Ta có : p = 3 => p + 10 = 13 mà 13 là số nguyên tố => p + 10 là số nguyên tố
p = 3 => p + 14 = 17 mà 17 là số nguyên tố => p + 14 là số nguyên tố
+) Với p > 3 . Khi đó p chia cho 3 ta có 2 khả năng
- Trường hợp 1 : p = 3k + 1 => p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3 ( k + 5 )
Mà : p + 14 > 3 => 3 ( k + 5 ) > 3 => 3 ( k + 5 ) là hợp số ( Vô lý )
- Trường hợp 2 : p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3 ( k + 4 )
Mà : p + 10 > 3 => 3 ( k + 4 ) > 3 => 3 ( k + 4 ) là hợp số ( Vô lý )
Vậy p = 3 thì p + 10 và p + 14 là số nguyên tố .
Xét p có 1 trong 3 dạng sau: 3k hoặc 3k+1 hoặc 3k+2
Khi đó :p+ 10 = 13
p+14 = 17 (t/m)
Với p = 3k =) p chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố =) p = 3
Với p =3k+1 =) p +14 = 3k+1+14
= 3k+15
= 3(k+5) chia hết cho 3
Mà p+14 > 3 =) p+14 là hợp số (vô lý )
Với p = 3k+ 2 =) p+ 10 = 3k+ 2+ 10
= 3k+12
= 3(k+4) chia hết cho 3
Mà p+ 10 > 3 =) p+10 là hợp số (vô lý )
Vậy p = 3
Xét p = 2 có : p + 10 = 12 ( loại vì 12 là số nguyên tố )
Xét p = 3 có : p + 10 = 13 ; p + 14 = 17 ( chọn vì 13,17 đều là số nguyên tố )
Xét p > 3 \(⋮\)loại vì p là số nguyên tố => p> 3 \(⋮̸\)3
Xét ta có 2 trường hợp :
TH1 : p : 3 dư 1 => p = 3k + 1 ( k \(\in\) N ) => p + 14 = (3k + 1 )+ 14 => p +14 = 3k + 15 \(⋮\)3 mà p là số nguyên tố =>p+14 là hợp số ( loại)
TH2 : p : 3 dư 2 => p = 3k + 2 ( k \(\in\) N ) => p +10 = (3k + 2 ) + 10 => p + 10 = 3k + 12 \(⋮\)3 mà p là số nguyên tố => p + 10 là hợp số .
=> p = 3 (thỏa mãn )
do p là số nguyên tố =>p>=2
xét p=2 => p+10 =12 (không là số nguyên tố)
xét p=3 => p+10 =13 (là số nguyên tố ) ,p+14 =17 (là số nguyên tố)
=> p=3 thỏa mãn đề bài
xét p là số nguyên tố >3 => p không chia hết cho 3 . nếu p chia 3 dư 1
=> p+14 chia hết cho 3 mà p+14 >3 => p+14 không là số nguyên tố => vô lý
nếu p chia 3 dư 2=> p+10 chia hết cho 3 mà p+10 >3 => p+10 không là số nguyên tố
vậy với p là số nguyên tố >3 thì p không thỏa mãn đề bài
p=3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài
