Lời giải:
Nếu \(x=1\Rightarrow y^3=1!=1\Rightarrow y=1\) (t/m)
Nếu \(x=2\Rightarrow y^3=1!+2!=3\) (loại)
Nếu \(x=3\Rightarrow y^3=1!+2!+3!=9\) (loại)
Nếu \(x=4\Rightarrow y^3=33\) (loại)
.........
Nếu $x=8$ \(\Rightarrow y^3=1!+2!+...+8!=46233\) chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $27$ (loại)
Nếu \(x\geq 9\). Ta thấy mọi số có dạng \(n!\) mà \(n\geq 9\) thì đều chia hết cho $27$
Do đó:
\(y^3=1!+2!+...+x!=(1!+2!+...+8!)+(9!+...+x!)\)
\(=46233+(9!+...+x!)\)
Nhóm $9!+...+x!$ là nhóm gồm các số hạng chia hết cho $27$ nên tổng chia hết cho $27$
Mà \(46233\vdots 3\) nhưng không chia hết cho $27$
\(\Rightarrow y^3=46233+(9!+...+x!)\vdots 3\) nhưng không chia hết cho $27$ (vô lý)
Vậy chỉ có $(x,y)=(1,1)$ là nghiệm duy nhất.
