Ta có:
\(x^6+3x^2+1=\left(x^3\right)^2+2\left(x^3\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2-\dfrac{1}{x^2}+1=\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)^2-\dfrac{1}{x^2}+1\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\\\dfrac{-1}{x^2}\ge0\\1=1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)^2-\dfrac{1}{x^2}+1\ge1>0\)
Mà \(\left(x^3+\dfrac{1}{x}\right)^2-\dfrac{1}{x^2}+1=x^6+3x^2+1=y^3\)
Nên \(\left\{{}\begin{matrix}y>0\\y^3\ge1\Leftrightarrow y\ge1\end{matrix}\right.\)
TH1: y>1
\(\Rightarrow x^6+3x^2+1>1\)
\(\Leftrightarrow x^6+3x^2>0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^4+3\right)>0\)
Mà \(x^2\ge0\)
Nên để \(x^2\left(x^4+3\right)>0\) thì \(x^4+3>0\)
\(\Leftrightarrow x^4>-3\) => không tìm được x thỏa đề bài
TH2: y=1
\(\Rightarrow x^6+3x^2+1=1\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^4+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^4=-3\left(vl\right)\end{matrix}\right.\)
=> x=0;y=1
Vậy (x;y)\(\in\left\{\left(0;1\right)\right\}\)
Ta có: x6 + 3x2 + 1 = y3
Đặt: x2 = t (t \(\in\) N), khi đó
t3 + 3t + 1 = y3
Vì t \(\in\) N nên t3 < t3 + 3t + 1\(\le\) t3 + 3t2 + 3t + 1
\(\Leftrightarrow\) t3 < y3\(\le\) (t + 1)3
Suy ra: y3 = (t + 1)3 (do y3 bị kẹp giữa lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp)
\(\Leftrightarrow\) t3 + 3t + 1 = t3 + 3t2 + 3t + 1
\(\Leftrightarrow\) 3t2 = 0 \(\Leftrightarrow\) t2 = 0 \(\Leftrightarrow\) t = 0
Suy ra: x2 = 0 \(\Leftrightarrow\) x = 0
y3 = 1 \(\Leftrightarrow\) y = 1
Vậy nghiệm nguyên của pt trên là (x;y)=(0;1)
