Gỉa sử \(^{n^2}+2006\) là số chính phương , khi đó ta đặt \(n^2+2006=a^2\)\(\left(a\in Z\right)\Leftrightarrow a^2-n^2=2006\Leftrightarrow\left(a-n\right).\left(a+n\right)=2006\)(*)
+Thấy: Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế của (*)là số lẻ nên không thỏa mãn
+Nếu a,n cùng tính chất chẵn lẻ thì \(\left(a-n\right)⋮2\) và \(\left(a+n\right)⋮2\) nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4
\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn
Vậy không tồn tại n để \(n^2+2006\) là số chính phương
Vì n2 + 2006 là một số chính phương
=> n2 + 2006 = m2 ( m, n \(\in\) N; n < m ) (*)
=> m2 - n2 = 2006
=> m2 - mn + mn - n2 = 2006
=> ( m2 - mn ) + ( mn - n2 ) = 2006
=> m( m - n ) + n( m - n ) = 2006
=> ( m - n )( m + n ) = 2006
Ta thấy : m - n và m + n cùng tính chẵn lẻ ( vì ( m + n ) - ( m - n ) = m + n - m + n = 2n là số chẵn )
Mà 2006 \(⋮\) 2
=> ( m - n ) \(⋮\) 2 và ( m + n ) \(⋮\) 2
=> ( m - n )( m + n ) \(⋮\) ( 2.2 )
=> ( m - n )( m + n ) \(⋮\) 4
Mà 2006 \(⋮̸\) 4
=> ( m - n )( m + n ) \(\ne\) 2006 ! Trái với (*)
=> Không có giá trị nào của m,n để n2 + 2006 = m2
=> Không có giá trị nào của n để n2 + 2006 là một số chính phương
Vậy không có giá trị nào của n để n2 + 2006 là một số chính phương
