Question

Tìm một đa thức bậc 6 của biến x với hệ số nguyên và có một nghiệm là \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\)

\(\Rightarrow x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}\)

\(\Rightarrow (x-\sqrt{2})^3=3\)

\(\Leftrightarrow x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-2\sqrt{2}=3\)

\(\Leftrightarrow x^3+6x-3=3\sqrt{2}x^2+2\sqrt{2}=\sqrt{2}(3x^2+2)\)

\(\Rightarrow (x^3+6x-3)^2=2(3x^2+2)^2\)

\(\Leftrightarrow x^6+12x^4-6x^3+36x^2-36x+9=18x^4+24x^2+8\)

\(\Leftrightarrow x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0\)

Đây chính là đa thức cần tìm.