Question

tìm m để đường thẳng (d): y=x+m-1 cắt parabol (P): y=\(\frac{1}{2}x^2\) tại 2 điểm A và B sao cho tam giác AOB vuông tại O.(O là gốc tọa tọa độ)

a, m = 3

b, m = 1 ; m = 3

c, m = -1 ; m = -3

d, m = 1

Answer 1

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2}x^2-(x+m-1)=0\Leftrightarrow x^2-2x-2(m-1)=0(*)$

Để $(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm $A,B$ phân biệt thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_A,x_B$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=1+2(m-1)>0\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}$

Khi đó, áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=2\\ x_Ax_B=-2(m-1)\end{matrix}\right.\)

$y_A=\frac{1}{2}x_A^2; y_B=\frac{1}{2}x_B^2$

Để tam giác $AOB$ vuông tại $O$ thì:

$OA^2+OB^2=AB^2$

$\Leftrightarrow x_A^2+y_A^2+x_B^2+y_B^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2$

$\Leftrightarrow x_Ax_B+y_Ay_B=0$

$\Leftrightarrow x_Ax_B+\frac{1}{4}(x_Ax_B)^2=0$

$\Leftrightarrow -2(m-1)+(m-1)^2=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m-3)=0$

$\Rightarrow m=1$ hoặc $m=3$ (đều thỏa mãn)

Đáp án B