Question

tìm m để bpt \(x^2-2x+\left|x-1\right|+m\ge0\) có tập nghiệm là R

(key: \(m\ge1\))

Answer 1

Bpt \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left|x-1\right|+m-1\ge0;\forall x\)

Đặt \(t=\left|x-1\right|;t\ge0\)

Bpttt: \(t^2+t+m-1\)\(\ge0\) (1)

Để bpt có tập nghiệm là R khi (1) có nghiệm với mọi \(t\ge0\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2+t-1+m;t\ge0\) có đỉnh \(I\left(-\dfrac{1}{2};f\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm \(f\left(t\right)\) đồng biến trên \([0;+\infty)\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\ge0\)\(\Leftrightarrow\min\limits f\left(t\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow f\left(0\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow-1+m\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

Vậy...