\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)\(=\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwar dạng phân thức:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2.\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}=4\)(1)
Mặt khác, với \(x,y>0\): \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4xy}\ge\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow S\ge6\)
\(''=''\Leftrightarrow x=y\)
