Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
阮芳邵族

Tìm GTNN của \(A=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\) với x>1,y>1

Trần Thanh Phương
5 tháng 9 2019 lúc 21:52

Lời giải :

\(A=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(y-1=1\cdot\left(y-1\right)\le\frac{\left(1+y-1\right)^2}{4}=\frac{y^2}{4}\)

Do đó \(\frac{x^2}{y-1}\ge\frac{x^2}{\frac{y^2}{4}}=\frac{4x^2}{y^2}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{4y^2}{x^2}\)

Cộng theo vế 2 BĐT rồi tiếp tục Cô-si ta được :

\(A\ge\frac{4x^2}{y^2}+\frac{4y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{16\cdot x^2y^2}{x^2y^2}}=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyen Thi Thu Huyen
Xem chi tiết
Đặng Mai Anh
Xem chi tiết
Sĩ Bí Ăn Võ
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
nguyễn
Xem chi tiết
Đoàn Đặng Bảo Trâm
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Bờ Môi Quyến Rũ
Xem chi tiết
cô độc
Xem chi tiết