Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đinh Hoàng Phúc

Tìm GTNN của biểu thức \(P=x^2+2y^2+2xy-6x-4y+13\)

Thánh cao su
7 tháng 12 2017 lúc 15:43

\(P=x^2+2y^2+2xy-6x-4y+13\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+y^2-6\left(x+y\right)+2y+13\)

\(=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)3+9+y^2+2y+1+3\)

\(=\left(x+y-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+3\)

\(\left(x+y-3\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow P\ge3\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(P_{Min}=3\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(4;-1\right)\)

Amanogawa Kirara
7 tháng 12 2017 lúc 15:50

Ta có: P = x2 + 2y2 + 2xy - 6x -4y +13

= (x2 + y2 + 9 + 2xy - 6x - 6y) + (y2 + 2y + 1) + 3

= (x + y - 3)2 + (y + 1)2 + 3

Ta thấy (x + y - 3)2 ≥ 0 với mọi x,y

(y + 1)2 ≥ 0 với mọi x,y

⇔ (x + y - 3)2 + (y + 1)2 ≥ 0 với mọi x,y

⇔ (x + y - 3)2 + (y + 1)2 +3 ≥ 3 với mọi x,y

hay P ≥ 3 với mọi x,y

Dấu "=" xảy ra

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x-1-3=0\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của biểu thức P là 3 khi x=4 và y=-1.


Các câu hỏi tương tự
Nina Nguyễn
Xem chi tiết
Law Trafargal
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Yêu các anh như ARMY yêu...
Xem chi tiết
Trần Linh Nhi
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Law Trafargal
Xem chi tiết
Dương Thị Thu Ngọc
Xem chi tiết
Dai Thang Dinh
Xem chi tiết