Question

Tìm GTNN của biểu thức:

\(P=x^2-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1\)

Answer 1

Nhân 2 vào hai vế của đẳng thức trên ta có: 

$2P=\left ( 2x^2-2x\sqrt{y}+2x+2y-2\sqrt{y}+2 \right )$

    $=(x^2-2x\sqrt{y}+y)+(x^2+2x+1)+(y-2\sqrt{y}+1)$

    $=(x-\sqrt{y})^2+(-x-1)^2+(\sqrt{y}-1)^2$

Ta có: $(x-\sqrt{y})^2+(-x-1)^2+(\sqrt{y}-1)^2\ge\frac{(x-\sqrt{y}-x-1+\sqrt{y}-1)^2}{3}=\frac{4}{3}(*)$

Do đó $2P \ge \frac{4}{3}\Leftrightarrow P\ge \frac{2}{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi: $x-\sqrt{y}=-x-1=\sqrt{y}-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{3} & \\ y=\frac{1}{9} & \end{matrix}\right.$

$(*)$ chính là bất đẳng thức phụ: $a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$