Lời giải:
ĐK: \(x>0; x\neq 1\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}+\frac{x+2}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}-2)}+\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}+\frac{x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}+2\sqrt{x}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}+2\sqrt{x}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+2\sqrt{x}=\frac{2x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
Ta thấy \(2x-\sqrt{x}+1=x+(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0, \forall x>0; x\neq 1\)
Do đó để $P>0$ thì $\sqrt{x}-1>0$ hay $x>1$
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra $x>1$ là điều kiện để $P>0$
Khi $P>0$, tức là khi $\sqrt{x}-1>0$. Áp dụng BĐT Cô-si:
\(P=2\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=2\sqrt{x}+1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=2(\sqrt{x}-1)+\frac{2}{\sqrt{x}-1}+3\geq 2\sqrt{2(\sqrt{x}-1).\frac{2}{\sqrt{x}-1}}+3=7\)
Vậy $P_{\min}=7$ khi $x=4$
