Question

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=2\sin^2x+\sqrt{3}\sin2x\)

Answer 1

Lời giải:

$y=2\sin ^2x+\sqrt{3}\sin 2x=1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$

$=1-(\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x)^2\leq (\cos ^22x+\sin ^22x)(1+3)=4$

$\Rightarrow \cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x\leq 2$

$\Rightarrow y=1-(\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x)\geq -1$

Vậy $y_{\min}=-1$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{-\pi}{6}+2k\pi$ với $k$ nguyên bất kỳ.