Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}\) với a, b, c là các số thực dương

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)

\(\Rightarrow \frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}\geq abc\)

\(\Rightarrow P=\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)

\(P\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}+18(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\geq 2(2)\)

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow \frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}\geq 8(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 2+8+18=28\)

Vậy $P_{\min}=28$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

Answer 2

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)

\(\Rightarrow \frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}\geq abc\)

\(\Rightarrow P=\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)

\(P\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}+18(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\geq 2(2)\)

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow \frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}\geq 8(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 2+8+18=28\)

Vậy $P_{\min}=28$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.