Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phuc Trung

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\(P=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\)

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 2 2020 lúc 13:49

Sử dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{8}{9}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow P\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{24\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\)

\(P\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{192}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(P\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{192}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{192}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{192\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}}+2\left(ab+bc+ca\right)=32\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Rosie
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Phạm Trần Minh Trí
Xem chi tiết
Mai Thành Đạt
Xem chi tiết
Phuong Tran
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Hân
Xem chi tiết