Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A = x ^2 + 2y ^2 - 2xy + 4x -2y +12

Answer 1

\(A=x^2+2y^2-2xy+4x-2y+12\)

\(=\left(x^2-2xy+4x\right)+2y^2-2y+12\)

\(=\left[x^2-2x\left(y-2\right)+\left(y-2\right)^2\right]+2y^2-2y+12-\left(y-2\right)^2\)\(=\left(x-y+2\right)^2+2y^2-2y+12-y^2+4y-4\)

\(=\left(x-y+2\right)^2+\left(y^2+2y+1\right)+7\)

\(=\left(x-y+2\right)^2+\left(y+1\right)^2+7\ge7\)

Vậy \(Min_A=7\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x-y+2=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1+2=0\\y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\y=-1\end{matrix}\right.\)