Với \(x>0\)
\(A=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
Dùng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\sqrt{x}\) và \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), ta có:
\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{1}=2\) với mọi \(x>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2+1\) với mọi \(x>0\)
\(\Rightarrow A\ge3\) với mọi \(x>0\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2=1\) \(\Leftrightarrow x=1\) (tmđk)
Vậy \(A_{min}=3\) nếu \(x=1\).
