Lời giải:
Bài toán \(\Leftrightarrow 5x^2+2x(3-y)+(5y^2-6y-A)=0(*)\)
Coi đây là PT bậc nhất ẩn $x$
Vì $A$ tồn tại nên PT $(*)$ tồn tại, tức là PT $(*)$ luôn có nghiệm
\(\Rightarrow \Delta'_{(*)}=(3-y)^2-5(5y^2-6y-A)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 5A\geq 24y^2-24y-9\)
Mà: \(24y^2-24-9=24(y-\frac{1}{2})^2-15\geq -15\)
\(\Rightarrow 5A\geq -15\Rightarrow A\geq -3\)
Vậy \(A_{\min}=-3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(y=\frac{1}{2}; x=-\frac{1}{2}\)
Nếu bạn giỏi "mò mẫn" thì có thể làm theo cách sau nữa:
\(A=5x^2+5y^2+6x-6y-2xy\)
\(=(x^2-2xy+y^2)+4x^2+4y^2+6x-6y\)
\(=(x-y)^2+2(x-y)+4x^2+4y^2+4x-4y\)
\(=(x-y)^2+2(x-y)+1+(4x^2+4x+1)+(4y^2-4y+1)-3\)
\(=(x-y+1)^2+(2x+1)^2+(2y-1)^2-3\)
\(\geq 0+0+0-3=-3\)
Vậy \(A_{\min}=-3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y+1=0\\ 2x+1=0\\ 2y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
