\(A=1+x+x^{19}+x^{20}+x^{2010}=\left(x^{2010}-1\right)+\left(x^{20}-1\right)+\left(x^{19}-x\right)+2x+3\)\(=[\left(x^2\right)^{1005}-1]+[\left(x^2\right)^{10}-1]+x[\left(x^2\right)^9-1]+2x+3\)
\(=\left(x^2-1\right)\left(x^{2008}+x^{2006}+...+1\right)+\left(x^2-1\right)\left(x^{18}+x^{16}+...+1\right)+\)
\(x\left(x^2-1\right)\left(x^{16}+x^{14}+...+1\right)\) \(+\left(2x+3\right)\)
Do \(\left(x^2-1\right)⋮\left(1-x^2\right)\) nên dễ dàng suy ra được
\(A=BS\left(1-x^2\right)+\left(2x+3\right)\) vậy \(A\) chia \(\left(1-x^2\right)\) dư \(2x+3\)
đặt 1+x+x19+x20+x2010 là q(x)
gọi f(x) là thương của phép chia trên
vì x2-1 bậc 2 nên số dư sẽ là một nhị thức bậc nhất có dạng ax+b ta có
q(x)=(1-x2).q(x)+ax+b
q(x)=(1-x)(x+1).q(x)+ax+b (1)
biểu thức (1) luôn đúng với mọi x
thay x=1,x=-1 lần lượt vào bt trên ta có
\(\left[{}\begin{matrix}a+b=5\\-a+b=1\end{matrix}\right.\)
từ trên ta đc
a=2 và b=3
vậy số dư là 2x+3
