Câu hỏi của Trần Vy

Question

Tìm cặp số x, y biết x, y đều là số nguyên tố thỏa mãn : x2 - 2y2 = 1

Hoang Hung Quan · Accepted Answer

Ta có: $x^2-2y^2=1\Leftrightarrow x^2-1=2y^2$ $(*)$

$*)$ Nếu $x⋮3\Leftrightarrow x=3\left(x\in P\right)$ thay vào $(*)$ ta được:

$3^2-1=2y^2=8\Leftrightarrow y=2\left(y\in P\right)$

$*)$ Nếu $x$ $⋮̸$ $3\Leftrightarrow x$ có 2 dạng là $\left[{}\begin{matrix}3k+1\3k+2\end{matrix}\right.$ $\left(k\in N\right)$

$-$ Với $x=3k+1$ thì: $2y^2=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

$=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)$ $⋮$ $3$

$-$ Với $x=3k+2$ thì: $2y^2=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

$=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)$

$=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)=3\left(3k+1\right)\left(k+1\right)⋮3$

Do đó $\forall x$ $⋮̸$ $3\Leftrightarrow x^2-1⋮3\Rightarrow2y^2⋮3.$ Mà $\left(2;3\right)=1$

Nên $y^2⋮3.$ Do $y\in P$ $\Leftrightarrow y⋮3\Leftrightarrow y=3$

Thay $y=3$ vào $(*)$ ta có:

$x^2-1=2.3^2=18\Leftrightarrow x^2=19\Leftrightarrow x=\sqrt{19}$ (không thỏa mãn)

Vậy $\left(x,y\right)=\left(3;2\right)$Câu trả lời: Ta có: $x^2-2y^2=1\Leftrightarrow x^2-1=2y^2$ $(*)$