P nguyên tố, pt sau có hai nghiệm nguyên:
\(x^2 + Px - 12P = 0 (1) \)
Có:\( Δ = P^2 + 48P = P(P + 48) \)
Vì pt có nghiệm nguyên nên Δ phải là số chính phương:
=> \(P(P + 48) = n^2\) (n nguyên)
=> \(P + 48 = \frac{n^2}{P}\) là số nguyên nên \(n^2\) chia hết cho P
Mà P là số nguyên tố nên => n chia hết cho P => đặt n = k.P (k nguyên)
Có:\( P(P + 48) = n^2 = k^2.P^2 \)
=> \(P + 48 = k^2.P \)
=> \(48 = (k^2 - 1).P\)
=> \((k^2 - 1).P = 3.2^4 (*) \)
Do P nguyên tố nên P chỉ có thể là 2 hoặc 3.
*Nếu P = 3 thay vào (*): \(k^2 - 1 = 2^4 = 16 \)
=> \(k^2 = 17\) => k không nguyên (trái giả thiết).
*P = 2 thay vào (*): \(k^2 - 1 = 24 => k^2 = 25\) thỏa.
Thử lại: với P = 2 ta có pt:
\(x^2 + 2x - 24 = 0\) rõ ràng có hai nghiệm nguyên là: x = 4 và x = - 6
Vậy P = 2
