Question

Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn sao cho : 2^x + 1 = y²

Answer 1

Lời giải:

PT tương đương: \(2^x=(y-1)(y+1)\)

Khi đó tồn tại \(m,n\in\mathbb{N}\) sao cho \(\left\{\begin{matrix} y-1=2^m\\ y+1=2^n\end{matrix}\right.(m+n=x)\)

\(\Rightarrow 2^n-2^m=2\)

Dễ thấy \(m,n\neq 0\Rightarrow m,n\geq 1\)

Từ PT trên suy ra \(2^{n-1}-2^{m-1}=1\) lẻ do đó phải tồn tại một số lẻ, tức là $n-1$ hoặc $m-1$ bằng $0$ . Mà $m<n$ nên \(m-1=0\rightarrow m=1\rightarrow y=3\rightarrow n=2\rightarrow x=3\)

Vậy \((x,y)=(3,3)\)