\(pt\Leftrightarrow x^3-x+y^3-y+z^3-z=2017\)
Ta có: \(x^3-x=x\left(x^2-1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp \(\left(x\in Z\right)\)
Do đó \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\Rightarrow x^3-x⋮3\)
Tương tự cho \(y^3-y⋮3;z^3-z⋮3\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên dễ thấy:
\(x^3-x+y^3-y+z^3-z⋮3\)
Mà \(2017⋮̸3\) suy ra pt vô nghiệm
Ta có: \(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2017\)
<=> \(\left(x^3-x\right)+\left(y^3-y\right)+\left(z^3-z\right)=2017\)
<=> \(x\left(x^2-1\right)+y\left(y^2-1\right)+z\left(z^2-1\right)=2017\)
<=>\(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+y\left(y-1\right)\left(y+1\right)+z\left(z-1\right)\left(z+1\right)=2017\)
Mà x(x-1)(x+1); y(y-1)(y+1); z(z-1)(z+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp.
\(\text{Suy ra }x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮3;\text{ }y\left(y-1\right)\left(y+1\right)⋮3;\text{ }z\left(z-1\right)\left(z+1\right)⋮3.\)
\(\text{Nên }x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+y\left(y-1\right)\left(y+1\right)+z\left(z-1\right)\left(z+1\right)⋮3.\)
\(\text{Mà }2017⋮̸3\)
Vậy không có giá trị nguyên x;y;z nào thỏa mãn phương trình trên.
