Ta có : \(y^2+y=x^4+x^3+x^2+x\)
=> \(4y^2+4y=4x^2+4x^3+4x^2+4x\)
<=>\(\left(2x^2+x\right)^2-\left(2y+1\right)^2=\left(3x+1\right)\left(x+1\right)\) hay\(\left(2x^2+x+1\right)^2-\left(2y+1\right)^2=x\left(x-2\right)\)
* Ta thấy :
- Nếu x>0 hoặc x<-1 thì (3x+1)(x+1) > 0
- Nếu x>2 hoặc x<-1 thì x(x-2)
=> Nếu x>2 và x<1 thì \(\left(2x^2+x\right)< \left(2y+1\right)^2< \left(2x^2+x+1\right)^2\) (loại)
=> \(-1\le x\le2\Rightarrow x\in\left\{-1;0;1;2\right\}\)
Xét x = -1 => \(y^2+y=0\Rightarrow y=0\) hoặc y = -1
Xét x = 0 => \(y^2+y=0\Rightarrow y\left(y+1\right)=0\Rightarrow y=0\) hoặc y = -1
Xét x = 1 => \(y^2+y=4\) (loại)
Xét x = 2 => \(y^2+y=30\Rightarrow y=5\) hoặc y = -6
* Vậy nghiệm nguyên của phương trình là các cặp số : (2;5) , (2;-6) , (0;0) , (0;-1) , (-1;0) , (-1;-1) .
x2(x+1)+x(x+1)-y(y+1)= 0
x(x+1)2-y(y+1)= 0
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0\\x=-1\\y=0\\y=-1\end{matrix}\right.\)
