Lời giải:
Ta thấy \(\overline{abc}=10(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow \overline{abc}\vdots 10\Rightarrow c=0\)
Khi đó, bài toán trở thành:
\(\overline{ab0}=10(a^2+b^2)\Leftrightarrow 100a+10b=10(a^2+b^2)\)
\(\Leftrightarrow 10a+b=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=10a-b(b-1)\) chẵn, do đó $a$ chẵn, kéo theo $a^2$ chia hết cho $4$
Khi đó, \(10a-b(b-1)\vdots 4, a\vdots 2\Rightarrow b(b-1)\vdots 4\)
Mà \(\text{UCLN}(b,b-1)=1\), do đó sẽ xảy ra 2 TH:
TH1: \(b\vdots 4\Rightarrow b\in\left \{0,4,8\right\}\). Thử vào điều kiện ban đầu không thu được $a$ thỏa mãn (loại)
TH2: \(b-1\vdots 4\Rightarrow b\in\left\{1,5,9\right\}\). Thử vào điều kiện ban đầu không thu được $a$ thỏa mãn
Vậy không tồn tại số cần tìm.
