Question

Tam giác ABC : góc A=90^O; AB=3cm, AC=4cm, AE là đường ca, BD là phân giác; F là giao điểm của AE và BD

a) Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng tam giác EAC. Tính AE

b) Chứng minh: BD.EF=BF.AD

c) Chứng minh: AF=AD

d) Tính AF

Answer 1

tam giác abc có góc a = 90 độ

=> tam giác abc vuông a

=> ab² + ac² = bc²

=> 3² + 4² = bc²

=> bc= 5

câu a

tam giác abc và tam giác eac có

góc bac = góc aec (=90 độ)

chung góc c

=> tam giác abc đồng dạng tam giác eac (gg)

=> \(\dfrac{ae}{ab}=\dfrac{bc}{ac}\)

\(=>ae=\dfrac{bc.ab}{ac}\\ =>ae=\dfrac{5.3}{4}\\ =>ae=3,75\left(cm\right)\)

câu b

xét tam giác abd và tam giác ebf có

góc bad = góc bef =90 độ

góc abd = góc ebf (bf là phân giác góc b)

=> tam giác abd đồng dạng tam giác ebf

=> \(\dfrac{bd}{bf}=\dfrac{ad}{ef}\)

=> bd . ef = bf .ad

câu c

từ câu b

=> góc bfe = góc adb

mà góc bfe = góc afd (đổi đỉnh)

=> góc afd = góc adf

=> tam giác afd cân tại a

=> af = ad

câu d

tam giác abc có phân giác bd

=> \(=>\dfrac{ad}{cd}=\dfrac{ab}{bc}\\ =>\dfrac{ad}{ad+cd}=\dfrac{ab}{ab+bc}\\ =>\dfrac{ad}{ac}=\dfrac{ab}{ab+bc}\\ =>\dfrac{ad}{4}=\dfrac{3}{8}\\ =>ad=1,5\left(cm\right)\)

chúc may mắn

Answer 2

AE là đường cao

Answer 3

a.ΔABC vuông tại A có :

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o(1)$

ΔAHC vuông tại H có :

$\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^o(2)$

Từ (1) và (2) :

$⇒\widehat{ABC}=\widehat{HAC} ( Cùng phụ với \widehat{ACB} )$

b.Xét ΔABD và ΔHBE có :

$\widehat{BAD}=\widehat{BHE}=90^o$

$\widehat{HBE}=\widehat{DBA} $

$⇒ΔABD\sim ΔHBE (g.g)$

$⇒\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{AD}{HE}$

$⇒BD.HE=BE.AD(đpcm)$

c.ΔABC vuông tại A

$⇒BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$

Xét ΔAHB và ΔCAB có :

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o$

$\widehat{ABC} : chung $

$⇒ΔAHB\sim ΔCAB (g.g)$

$⇒\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$

$⇒AH=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{3.4}{5}=2,4cm$

ΔHAB vuông tại H :

$⇒BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8cm$

ΔHAB có BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$⇒\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EH}{BH}$

Theo TCCDTSBN :

$⇒\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EH}{BH}=\dfrac{AE+EH}{AB+BH}=\dfrac{AH}{AB+BH}=\dfrac{2,4}{3+1,8}=\dfrac{1}{2}$

$⇒AE=\dfrac{1}{2}.AB=\dfrac{1}{2}.3=1,5cm$