\(\text{Bất phương trình tương đương với: }\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}>\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}>\sqrt{x-4}\left(\text{ đúng}\right)\)
ĐK: \(x\le1;x\ge4\)
\(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x^2-4x+3}>\sqrt{x^2-5x+4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}>\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\left(1\right)\)
TH1: \(x=1\), bất phương trình vô nghiệm
TH2: \(x< 1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}>\sqrt{4-x}\)
\(\Leftrightarrow5-2x+2\sqrt{\left(2-x\right)\left(3-x\right)}>4-x\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(2-x\right)\left(3-x\right)}>x-1\)
\(x< 1\Rightarrow x-1< 0\Rightarrow\) Bất phương trình có nghiệm với mọi \(x< 1\)
TH3: \(x\ge4\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}>\sqrt{x-4}\)
\(\Leftrightarrow2x-5+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}>x-4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-5x+6}>1-x\)
\(x\ge4\Rightarrow1-x< 0\Rightarrow\) bất phương trình có nghiệm với mọi \(x\ge4\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S=\left(-\infty;1\right)\cup[4;+\infty)\)
