Lượng giác hóa nghĩa là sử dụng kiến thức 11 thoải mái đúng ko nhỉ?
\(\Leftrightarrow6x+7+\sqrt[3]{6x+7}=\left(2x+2\right)^3+2x+2\)
Hàm \(f\left(t\right)=t^3+t\) có \(f'\left(t\right)=3t^2+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow2x+2=\sqrt[3]{6x+7}\Leftrightarrow\left(6x+7\right)-1=3\sqrt[3]{6x+7}\)
Đặt \(\sqrt[3]{6x+7}=t\Rightarrow t^3-3t-1=0\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^3-3t-1\) bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm
\(f\left(-2\right).f\left(-1\right)=\left(-3\right).1< 0\) ; \(f\left(-1\right).f\left(0\right)=-1< 0\) ; \(f\left(0\right).f\left(2\right)=-1.1< 0\)
\(\Rightarrow\) Cả 3 nghiệm của t đều thuộc \(\left[-2;2\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{t}{2}\in\left[-1;1\right]\Rightarrow\) đặt \(\dfrac{t}{2}=cosu\) hay \(t=2cosu\)
Pt trở thành:
\(8cos^3u-6cosu-1=0\Leftrightarrow4cos^3u-3cosu=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow cos3u=\dfrac{1}{2}\Rightarrow3u=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\)
\(\Rightarrow u=\pm\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow t=2cosu=\left\{2cos\dfrac{\pi}{9};2cos\dfrac{5\pi}{9};2cos\dfrac{7\pi}{9}\right\}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt[3]{6x+7}=2cos\dfrac{\pi}{9}\\\sqrt[3]{6x+7}=2cos\dfrac{5\pi}{9}\\\sqrt[3]{6x+7}=2cos\dfrac{7\pi}{9}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=...\)
