Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Minh Chiến

Giải phương trình:

1. \(x^4-6x^2-12x-8=0\)

2. \(\dfrac{x}{2x^2+4x+1}+\dfrac{x}{2x^2-4x+1}=\dfrac{3}{5}\)

3. \(x^4-x^3-8x^2+9x-9+\left(x^2-x+1\right)\sqrt{x+9}=0\)

4. \(2x^2.\sqrt{-4x^4+4x^2+3}=4x^4+1\)

5. \(x^2+4x+3=\sqrt{\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{2}}\)

6. \(\left\{{}\begin{matrix}4x^3+xy^2=3x-y\\4xy+y^2=2\end{matrix}\right.\)

7. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-3y}\left(2x+y+1\right)+2x+y-5=0\\5x^2+y^2+4xy-3y-5=0\end{matrix}\right.\)

8. \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+2}+\left(x^2+1\right)^2+2y-10=0\\\left(x^2+1\right)^2+x^2y\left(y-4\right)=0\end{matrix}\right.\)

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 17:08

1.

\(x^4-6x^2-12x-8=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1-4x^2-12x-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2=\left(2x+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=2x+3\\x^2-1=-2x-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-4=0\\x^2+2x+2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\)

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 17:22

3.

ĐK: \(x\ge-9\)

\(x^4-x^3-8x^2+9x-9+\left(x^2-x+1\right)\sqrt{x+9}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+1\right)\left(\sqrt{x+9}+x^2-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+9}+x^2-9=0\left(1\right)\)

Đặt \(\sqrt{x+9}=t\left(t\ge0\right)\Rightarrow9=t^2-x\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t+x^2+x-t^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+t\right)\left(x-t+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-t\\x=t-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\sqrt{x+9}\\x=\sqrt{x+9}-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 17:14

2.

ĐK: \(x\ne\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2};x\ne\dfrac{-2\pm\sqrt{2}}{2}\)

\(\dfrac{x}{2x^2+4x+1}+\dfrac{x}{2x^2-4x+1}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2x+\dfrac{1}{x}+4}+\dfrac{1}{2x+\dfrac{1}{x}-4}=\dfrac{3}{5}\)

Đặt \(2x+\dfrac{1}{x}+4=a;2x+\dfrac{1}{x}-4=b\left(a,b\ne0\right)\)

\(pt\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{5}\left(1\right)\)

Lại có \(a-b=8\Rightarrow a=b+8\), khi đó:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{b+8}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2b+8}{\left(b+8\right)b}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow10b+40=3\left(b+8\right)b\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\\b=-\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.\)

TH1: \(b=2\Leftrightarrow...\)

TH2: \(b=-\dfrac{20}{3}\Leftrightarrow...\)

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 17:41

5.

ĐK: \(x\ge-4\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}y+1\Rightarrow x=2y^2+8y+4\)

Phương trình đã cho tương đương \(y=2x^2+8x+4\)

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2y^2+8y+4\left(1\right)\\y=2x^2+8x+4\end{matrix}\right.\)

Trừ vế theo vế ta được:

\(x-y=2y^2+8y-2x^2-8x\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2x+2y+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\2x+2y+9=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x=y\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x^2+7x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-7\pm\sqrt{17}}{4}\left(tm\right)\)

Trường hợp còn lại tương tự

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 17:52

4. 

ĐK: \(-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\le x\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

Dễ thấy x=0 không phải nghiệm của phương trình, phương trình trở thành:

\(\sqrt{-4x^4+4x^2+3}=2x^2+\dfrac{1}{2x^2}\)

Ta có \(VT=\sqrt{-4x^4+4x^2+3}=\sqrt{-\left(2x^2-1\right)^2+4}\le2\)

\(VP=2x^2+\dfrac{1}{2x^2}\ge2\sqrt{2x^2.\dfrac{1}{2x^2}}=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{-4x^4+4x^2+3}\le2x^2+\dfrac{1}{2x^2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=\dfrac{\pm\sqrt{2}}{2}\left(tm\right)\)

Vậy \(x=\dfrac{\pm\sqrt{2}}{2}\)

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 17:58

7.

Nếu \(x=0\Rightarrow y=5\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(0;5\right)\) là nghiệm của hệ

Nếu \(x\ne0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+2}+\left(x^2+1\right)^2+2y-10=0\left(1\right)\\\left(x^2+1\right)^2+x^2y\left(y-4\right)=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+1\right)^2}{x^2}+y\left(y-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+y\left(y-4\right)=0\)

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+y\left(y-4\right)\ge2^2+y^2-4y=\left(y-2\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\pm1;2\right)\)

Thử lại vào phương trình \(\left(1\right)\) ta được \(\left(x;y\right)=\left(\pm1;2\right)\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(\pm1;2\right);\left(0;5\right)\right\}\)

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 18:12

6.

\(\left\{{}\begin{matrix}4x^3+xy^2=3x-y\\4xy+y^2=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Từ hệ phương trình suy ra: \(2\left(4x^3+xy^2\right)=\left(4xy+y^2\right)\left(3x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow8x^3+2xy^2=12x^2y-xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow8x^3-12x^2y+3xy^2+y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(8x^2-4xy-y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\8x^2-4xy-y^2=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x=y\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow5y^2=2\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{\pm\sqrt{10}}{5}\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(\dfrac{\sqrt{10}}{5};\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right);\left(-\dfrac{\sqrt{10}}{5};-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right)\right\}\)

TH2: \(8x^2-4xy-y^2=0\left(2\right)\)

Cộng vế theo vế \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta được:

\(8x^2=2\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{2}\)

Nếu \(x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=-1\pm\sqrt{3}\)

Nếu \(x=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=1\pm\sqrt{3}\)

Thử lại rồi kết luận nghiệm

Hồng Phúc
2 tháng 2 2021 lúc 18:20

7.

ĐK: \(x^2-3y\ge0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-3y}\left(2x+y+1\right)+2x+y-5=0\\5x^2+y^2+4xy-3y-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x+y+1\right)\left(\sqrt{x^2-3y}+1\right)=6\\\left(2x+y\right)^2+\left(x^2-3y\right)=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=6\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\) \(\left(a=2x+y;b=\sqrt{x^2-3y};b\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ab+2\left(a+b\right)=10\\\left(a+b\right)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế hai phương trình ta được:

\(\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)-15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-3\right)\left(a+b+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=3\\a+b=-5\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a+b=3\Rightarrow ab=2\)

\(\Leftrightarrow...\)

TH2: \(a+b=-5\Rightarrow ab=10\)

\(\Leftrightarrow...\)


Các câu hỏi tương tự
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Tiến Nguyễn Minh
Xem chi tiết
Đức Mai Văn
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
Đức Mai Văn
Xem chi tiết
Trinh Tuyết Na
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Thảo
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết