Question

- So sánh :

a) \(\sqrt{12}-\sqrt{11}\) và \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\)

b) \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\) và \(\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}\)

Answer 1

mk sẽ sửa lại cau a

Ta co: \(\sqrt{12}-\sqrt{11}=\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}\)

\(\sqrt{11}-\sqrt{10}=\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}\)

Ta thấy: \(\sqrt{12}+\sqrt{11}>\sqrt{11}+\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}< \dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{12}-\sqrt{11}< \sqrt{11}-\sqrt{10}\)

Answer 2

Dễ thấy \(\sqrt{12}-\sqrt{11}\) và \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\) đều dương.

Đặt \(A=\left(\sqrt{12}-\sqrt{11}\right)^2=12-2\sqrt{132}+11=23-\sqrt{528}\)

\(B=\left(\sqrt{11}-\sqrt{10}\right)^2=11-2\sqrt{110}+10=21-\sqrt{440}\)

\(A-B=2-\sqrt{528}-\sqrt{440}\) <0 => \(A< B=>\sqrt{12}-\sqrt{11}< \sqrt{11}-\sqrt{10}\)

b) Rút gọn \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}\) và \(\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}=2+\sqrt{8}\)

Vì \(2+\sqrt{3}< 2+\sqrt{8}=>\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}< \dfrac{2}{\sqrt{2}-1}\)