Question

Rút gọn tổng: \(P=1+2x+3x^2+4x^3+...+100x^{99}\)

Answer 1

khó nhề

 

Answer 2

Đặt \(f\left(x\right)=x+x^2+x^3+x^4+...+x^{100}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=1+2x+3x^2+...+100x^{99}=P\) (1)

Mặt khác, ta có \(f\left(x\right)\) cũng là tổng của cấp số nhân với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=x\\q=x\\n=100\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(f\left(x\right)=u_1.\dfrac{q^{100}-1}{q-1}=x.\dfrac{x^{100}-1}{x-1}=\dfrac{x^{101}-x}{x-1}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x^{101}-x\right)'.\left(x-1\right)-\left(x-1\right)'.\left(x^{101}-x\right)}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{\left(x-1\right)^2}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow P=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{\left(x-1\right)^2}\)