\(\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=a^3-ab^2+a^2b-b^3+b^3-bc^2+b^2c-c^3+c^3-a^2c+ac^2-a^3\)
\(=-ab^2+a^2b-bc^2+b^2c-a^2c+ac^2\)
\(=b^2\left(c-a\right)+ac\left(c-a\right)-b\left(c^2-a^2\right)\)
\(=b^2\left(c-a\right)+ac\left(c-a\right)-b\left(c-a\right)\left(c+a\right)\)
\(=\left(c-a\right)\left(b^2+ac-ab-bc\right)\)
\(=\left(a-c\right)\left[-b\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)\)
\(\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(a+c\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(c^2-b^2\right)+\left(a+c\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(a^2-b^2+c^2-a^2\right)+\left(a+c\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(c^2-a^2\right)+\left(a+c\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a+b-b-c\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(c^2-a^2\right)\left(a+c-b-c\right)\)
\(=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-c\right)\left(a+c\right)\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b-a-c\right)\)
\(=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
