Question

Một người đi xe mô tô từ A đến B để đưa người thứ hai từ B về A. Người thứ hai đến nơi hẹn B sớm hơn 55 phút nên đi bộ với vận tốc 4 km/h về phía A. Giữa đường hai người gặp nhau và người thứ nhất đưa người thứ hai đến A sớm hơn dự định 10 phút (so với trường hợp hai người đi mô tô từ B về A). Tính

a) Quãng đường người thứ hai đã đi bộ

b) Vận tốc của người đi xe mô tô

Answer 1

Nguyễn Văn Thành Ma Đức Minh nguyen thi vang Tenten

Answer 2

Câu I:

1. Đặt \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{7}=k\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=4k\\y=7k\end{matrix}\right.\)

Vì xy = 112 => 4k.7k = 112

=> 28k² = 112

=> k² = 4

=> \(\left[{}\begin{matrix}k=2\\k=-2\end{matrix}\right.\)

*) k = 2 => \(\left\{{}\begin{matrix}x=4.2=8\\y=7.2=14\end{matrix}\right.\)

*) k = -2 => \(\left\{{}\begin{matrix}x=4.\left(-2\right)=-8\\y=7.\left(-2\right)=-14\end{matrix}\right.\)

Vậy các cặp (x; y) thỏa mãn là (8; 14) và (-8; -14)

2. *) \(\dfrac{ab+ac}{2}=\dfrac{ba+bc}{3}\) <=> 3(ab + ac) = 2(ba + bc)

<=> ab + 3ac = 2bc

<=> a(b + 3c) = 2bc (1)

*) \(\dfrac{ab+ac}{2}=\dfrac{ca+cb}{4}\) <=> 2(ab + ac) = ca + cb

<=> 2ab + ac = bc

<=> 2a(2b + c) = 2bc (2)

Từ (1) và (2) => a(b + 3c) = 2a(2b + c)

<=> b + 3c = 4b + 2c (vì a ≠ 0)

<=> c = 3b (3)

Thay c = 3b vào (1) ta có:

a(b + 9b) = 6b²

<=> 10ab = 6b²

<=> 5a = 3b (vì b ≠ 0) (4)

Từ (3) và (4) => 5a = 3b = c

<=> \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{15}\)

Vậy bài toán đã được chứng minh

3. P = |2013 - x| + |2014 - x| = |2013 - x| + |x - 2014| ≥ |2013 - x + x - 2014| = |-1| = 1

Dấu "=" xảy ra <=> (2013 - x)(x - 2014) ≥ 0

<=> (x - 2013)(x - 2014) ≤ 0

mà x - 2014 < x - 2013 => \(\left\{{}\begin{matrix}x-2013\ge0\\x-2014\le0\end{matrix}\right.\) <=> 2013 ≤ x ≤ 2014

Vậy min P = 1 tại 2013 ≤ x ≤ 2014

4. +) Xét c = 1 => a + 3 = 5 => a = 2

=> 2³ + 3.2² + 5 = 25 = 5^b

=> b = 2 (vì b nguyên dương)

+) Xét c > 1 => 5^c > 5 => a + 3 > 5 => a > 2

=> a³ + 3a² + 5 > 25 => 5^b > 25 => b > 2

Ta có: a³ + 3a² + 5 = 5^b

<=> a²(a + 3) + 5 = 5^b

<=> a².5^c + 5 = 5^b

<=> a².5^{c - 1} + 1 = 5^{b - 1} (1)

Vì b > 2 => b - 1 > 0 => 5^{b - 1} ⋮ 5

Vì c > 1 => c - 1 > 0 => 5^{c - 1} ⋮ 5 => 5^{c - 1} + 1 không chia hết cho 5

Ta có: VT(1) không chia hết cho 5; VP(1) ⋮ 5

=> không tồn tại a, b, c nguyên dương thỏa mãn

Vậy cặp số (a; b; c) thỏa mãn là (2; 2; 1)

Câu II:

1. a) y² + 4^x + 2y - 2^{x + 1} + 2 = 0

<=> (y² + 2y + 1) + (4^x - 2.2^x + 1) = 0

<=> (y + 1)² + (2^x - 1)² = 0

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(y+1\right)^2=0\\\left(2^x-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) (vì (y + 1)² ≥ 0 ∀ y; (2^x - 1)² ≥ 0 ∀ x)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}y+1=0\\2^x=1\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=0\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (0; -1)

b) \(\dfrac{x^2+4x+6}{x+2}+\dfrac{x^2+16x+72}{x+8}=\dfrac{x^2+8x+20}{x+4}+\dfrac{x^2+12x+42}{x+6}\)

ĐKXĐ: x ≠ -2; -4; -6; -8

pt <=> \(\dfrac{\left(x+2\right)^2+2}{x+2}+\dfrac{\left(x+8\right)^2+8}{x+8}=\dfrac{\left(x+4\right)^2+4}{x+4}+\dfrac{\left(x+6\right)^2+6}{x+6}\)

<=> \(\left(x+2\right)+\left(x+8\right)+\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{8}{x+8}=\left(x+4\right)+\left(x+6\right)+\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{6}{x+6}\)

<=> \(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{8}{x+8}=\dfrac{4}{x+4}+\dfrac{6}{x+6}\)

<=> \(\left(\dfrac{2}{x+2}-1\right)+\left(\dfrac{8}{x+8}-1\right)=\left(\dfrac{4}{x+4}-1\right)+\left(\dfrac{6}{x+6}-1\right)\)

<=> \(\dfrac{-x}{x+2}+\dfrac{-x}{x+8}=\dfrac{-x}{x+4}+\dfrac{-x}{x+6}\)

Nhận xét: x = 0 là một nghiệm của phương trình

Xét x ≠ 0. Chia cả 2 vế cho -x ta có:

\(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+8}=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+6}\)

<=> \(\dfrac{2\left(x+5\right)}{\left(x+2\right)\left(x+8\right)}=\dfrac{2\left(x+5\right)}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)}\)

Nhận xét: x = -5 là một nghiệm của phương trình

Xét x ≠ -5. Chia cả 2 vế cho 2(x + 5) ta có:

\(\dfrac{1}{x^2+10x+16}=\dfrac{1}{x^2+10x+24}\)

<=> x² + 10x + 16 = x² + 10x + 24

<=> -8 = 0 (vô lý)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; -5}

2. a) A xác định <=> \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+8\ne0\\8-4x+2x^2-x^3\ne0\\x\ne0\\x^2\ne0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(\dfrac{x^2-2x}{2x^2+8}-\dfrac{2x^2}{8-4x+2x^2-x^3}\right)\left(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)\)