Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
hoàng minh chính

mong mọi người giúp mình câu này

cho a,b,c >0  có   \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}=1\)   tìm giá trị lớn nhất của   \(\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(a^2+1\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ca\left(b^2+1\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(c^2+1\right)}}\)

Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 3 2022 lúc 14:08

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(P=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+1}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+1}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+1}}\)

\(P=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+xy+yz+zx}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+xy+yz+zx}}\)

\(P=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{y+z}+\dfrac{x}{x+y}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}\right)=\dfrac{3}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(a=b=c=\sqrt{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Ctuu
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
VUX NA
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Thùy Duyên
Xem chi tiết
Chibi Sieu Quay
Xem chi tiết
Lê Trúc Anh
Xem chi tiết
Gay\
Xem chi tiết
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết
Ngô Chí Vĩ
Xem chi tiết