Lời giải:
Để hàm \(y=\sin x+\cos x+mx\) đồng biến trên R thì \(y'=\cos x-\sin x+m>0\) với mọi $x$
\(\Leftrightarrow m>\sin x-\cos x\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow m>\max (\sin x-\cos x)\)
Xét hàm \(f(x)=\sin x-\cos x\Rightarrow f'(x)=\cos x+\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\). Kết hợp với \(\sin ^2x+\cos^2x=1\)
\(\Rightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\cos x=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{2}\\\sin x=\dfrac{-1}{2},\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow f\left(x\right)=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\max (\sin x-\cos x)=\sqrt{2}\)
Vậy \(m>\sqrt{2}\)
