Like page Facebook của cuộc thi để theo dõi những sự kiện tiếp theo nha ^^
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy liên hệ trực tiếp qua Facebook nha :>
-------------------------------------------------
[Toán.C96 _ 17.2.2021]
[Toán.C97 _ 17.2.2021]
[Toán.C98 _ 17.2.2021]
Đặt:
x = b + c; y = c + a; z = a + b
=> 2a = y + z - x;
2b = x + z - y;
2c = x + y - z.
Đặt vế trái đề bài là (1),
(1) sẽ trở thành:
½[(y + z - x)/x + 25(x + z - y)/y + 4(x + y - z)/z]
= ½(y/x + 25x/y + z/x + 4x/z + 25z/y + 4y/z)
Áp dụng BĐT CÔSI ta có:
y/x + 25x/y ≥ 2\(\sqrt{ }\)(25xy/xy) = 10
z/x + 4x/z ≥ 2\(\sqrt{ }\)(4xz/xz) = 4
25z/y + 4y/z ≥ 2\(\sqrt{ }\)(100yz/yz) = 20
(1) trở thành BĐT:
(1) ≥ ½(10 + 4 + 20 - 30) = 2
Đẳng thức xảy ra khi:
y/x = 25x/y; z/x = 4x/z; 25z/y = 4y/z
=> 25x² = y²; 4x² = z²; 25z² = 4y²
=> y/x = 5; z/x = 2; z/y = 2/5
=> x = 2; y = 10; z = 4
=> b + c = 2; c + a = 10; a + b = 4
=> c = 2 - b; a = 4 - b
=> (2 - b) + (4 - b) = 10 => b = -2 < 0 (không thỏa mãn)
Vậy đẳng thức không xảy ra và (1) > 2
C97 :
Gọi P là biểu thức cần chứng minh > 2.
Ta có : \(P+30=\left(\dfrac{a}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{25b}{a+c}+25\right)+\left(\dfrac{4c}{a+b}+4\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\cdot\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{25}{a+c}+\dfrac{4}{a+b}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\cdot\dfrac{\left(1+5+2\right)^2}{2.\left(a+b+c\right)}=32\)
\(\Rightarrow P\ge2\)
Tuy nhiên dấu "=" không xảy ra nên \(P>2\)
