Like page Facebook của cuộc thi để theo dõi những sự kiện tiếp theo nha ^^
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Muốn đề xuất câu hỏi? Các bạn hãy liên hệ trực tiếp qua Facebook nha :>
-------------------------------------------------
[Toán.C88 _ 16.2.2021]
Xét a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}=6\). Tìm min của \(P=\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\).
[Toán.C89 _ 16.2.2021]
Cho x,y dương thỏa mãn \(x^3+y^3+6xy\le8.\) Tìm min \(Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\).
[Toán.C90 _ 16.2.2021]
[Toán.C91 _ 16.2.2021]
Toán C89 :
Ta có : \(x^3+y^3+6xy\le8\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)-8+6xy\le0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)^3-8\right]-3xy.\left(x+y-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4\right]-3.xy.\left(x+y-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left[\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\right]\le0\) (*)
Ta thấy : \(\left(x+y\right)^2+2.\left(x+y\right)+4-3xy\)
\(=x^2+y^2-xy+2.\left(x+y\right)+4\)
\(=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+2.\left(x+y\right)+4>0\forall x,y>0\)
Do đó từ (*) suy ra : \(x+y-2\le0\Leftrightarrow x+y\le2\)
Ta có : \(Q=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy Min \(Q=2\) khi \(x=y=1\)
Toán C88 :
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương lần lượt ta có được :
\(\left(a+1\right)+4\ge4\sqrt{a+1}\)
\(\left(b+1\right)+4\ge4\sqrt{b+1}\)
\(\left(c+1\right)+4\ge4\sqrt{c+1}\)
Do đó : \(a+b+c+15\ge4.\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)=4.6=24\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge9\)
Ta có : \(a^2+ab+b^2=\dfrac{4.\left(a^2+ab+b^2\right)}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+3.\left(a+b\right)^2}{4}\ge\dfrac{3.\left(a+b\right)^2}{4}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(a+b\right)\)
Chứng minh tương tự ta có :
\(\sqrt{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left(c+a\right)\)
Do đó : \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot2\cdot\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Vậy Min \(P=9\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=3\)
c89
ta có:\(x^3+y^3+6xy\le8\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2+y^2-2x-2y-xy+4\right)\le0\left(1\right)\)
áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(x^2+y^2\ge2xy\\ x^2+4\ge4x\\ \)
\(y^2+4\ge4y\)
=>\(x^2+y^2-xy-2x-2y+4\ge0\)(2)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow x+y\le2\)
ta có:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)mà \(x+y\le2\)=>\(\dfrac{4}{x+y}\ge2\)
hay Q\(\ge2\) Dấu= xảy ra khi và chỉ khi x=y=1
áp dụng: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
biến đổi áp dụng vào bài toán ta có:
\(x^3+y^3-2^3+3xy.2\) \(=\left(x+y-2\right)\left(x^2+y^2+\left(-2\right)^2-xy+2y+2x\right)\le0\)
Biến đổi tiếp 1 tí \(x^2+y^2-xy+2\left(x+y\right)+4=\left(x^2-xy+\dfrac{y^2}{4}\right)+\dfrac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\) với mọi x,y>0
\(\Rightarrow x+y\le2\)
bài toán trở thành với \(x+y\le2\) tìm min: ( viết lại đề bài :D )
Làm như sau: \(\dfrac{1}{x}+x+\dfrac{1}{y}+y\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}.x}+2\sqrt{\dfrac{1}{y}.y}\)
\(\Rightarrow P\ge4-\left(x+y\right)=4-2=2\)
Dấu"=" xảy ra khi a=b=1
C.90
Ta chứng minh bổ đề:\(a+b^2\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+1}\) ( mọi a> 0 )
\(\left(a+b\right)^2\le\left(a+b^2\right)\left(a+1\right)\left(\forall a>0\right)\)
BĐT \(\Leftrightarrow ab^2-2ab+a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-1\right)^2\ge0\) ( Đúng vì a>0 )
Từ đây suy ra \(\dfrac{1}{a+b^2}\le\dfrac{a+1}{\left(a+b\right)^2}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\dfrac{1}{b+a^2}\le\dfrac{b+1}{\left(b+a\right)^2}\left(2\right)\)
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: \(\dfrac{1}{a+b^2}+\dfrac{1}{b+a^2}\le\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\)
Vì \(a+b\ge2\) nên ta dự đoán \(\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge a+b+2\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-2\ge0\)\(\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)\right]+\left[\left(a+b\right)-2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)+\left(a+b-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a+b+1\right)\ge0\) ( True ) vì a+b>= 2
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b^2}+\dfrac{1}{b+a^2}\le\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)
=> GTLN M = 1 Dấu "=" xảy ra khi a=b=1
Việc mò đc bất phụ cũng hơi mệt :D
