Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
bach nhac lam

\(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>1\\x+y+z\le6\end{matrix}\right.\). Tìm min \(P=\frac{x}{y^2-2y+1}+\frac{y}{z^2-2z+1}+\frac{z}{x^2-2x+1}\)

Nguyễn Huy Thắng
18 tháng 12 2019 lúc 20:51

không thấy nhờ nên không dám giúp sợ bị bảo vô duyên :(

Khách vãng lai đã xóa
Eren
18 tháng 12 2019 lúc 21:09

Không phải ngẫu nhiên mà người ta cho x, y, z > 1. Vì để x, y, z có trừ đi 1 thì vẫn > 0 :))

Khách vãng lai đã xóa
Ho Nhat Minh
21 tháng 12 2019 lúc 21:41

Ta co:

\(P=\Sigma_{cyc}\frac{x}{\left(y-1\right)^2}\)

Ta lai co:

\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+x\ge\frac{2x}{y-1}\)

\(\Rightarrow P\ge2\Sigma_{cyc}\frac{x}{y-1}-\left(x+y+z\right)\ge2\Sigma_{cyc}\frac{x}{y-1}-6\)

Xet

\(M=\Sigma_{cyc}\frac{x}{y-1}=\Sigma_{cyc}\frac{x^2}{xy-x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx-\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}-\left(x+y+z\right)}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z-3}\)

\(\Rightarrow2M-6\ge\frac{6\left(x+y+z\right)}{x+y+z-3}-6\)

Chung minh

\(\frac{6\left(x+y+z\right)}{x+y+z-3}-6\ge6\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le6\) (đúng)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=2\)

Khách vãng lai đã xóa
Châu Hà
25 tháng 12 2019 lúc 20:57

Ta có P=\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+\frac{y}{\left(z-1\right)^2}+\frac{z}{\left(x-1\right)^2}\)

Áp dụng BĐT cosy cho 4 số:

\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+2\left(y-1\right)+2\left(y-1\right)+\frac{4}{x}\ge8\)

\(\frac{y}{\left(z-1\right)^2}+2\left(z-1\right)+2\left(z-1\right)+\frac{4}{y}\ge8\)

\(\frac{z}{\left(x-1\right)^2}+2\left(z-1\right)+2\left(z-1\right)+\frac{4}{z}\ge8\)

Cộng từng vế ta được: \(P+4\left(x+y+z-3\right)+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge24\)

\(P\ge24-4\left(x+y+z\right)+12-4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge36-4.6-4\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)=6\)

Vậy min P=6 \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Khách vãng lai đã xóa
tthnew
30 tháng 12 2019 lúc 7:57

Ý tưởng khác ạ!

Dự đoán P đạt min tại \(x=y=z=2\Rightarrow P=6\). Nên ta chứng minh \(P\ge6\)

Đặt \(x=a+1;y=b+1;c=z+1\) thì \(a,b,c>0\) (vì \(x,y,z>1\)) và \(a+b+c\le3\)

Quy về chứng minh: \(P=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{b^2}\ge6\)

Ta có: \(P\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8\sqrt{abc}}{\sqrt{a^4b^4c^4}}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{8}{\sqrt{\left(abc\right)^3}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8}{\sqrt{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^3}}}\ge6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Is that true?

Khách vãng lai đã xóa
bach nhac lam
18 tháng 12 2019 lúc 13:43

Ý b) bđt trong đề thi hsg toán 9 huyện Thanh Chương vòng 2 ạ!

Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Văn Đạt, No choice teen, Nguyễn Việt Lâm, Vũ Minh Tuấn, @tth_new, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương

mn giúp e vs!

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
Thảo Phương
Xem chi tiết
Vân Trần Thị
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết