Question

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

tìm m để hpt có tích x.y nhỏ nhất

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\m^2x+my=3m^2-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\\left(m^2-1\right)x=3m^2-2m-1\end{matrix}\right.\)

- Với \(m=1\) hệ vô nghiệm

- Với \(m=-1\) hệ có vô số nghiệm nên ko tồn tại GTNN của xy

- Với \(m\ne\pm1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3m+1}{m+1}\\y=\frac{m-1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(P=xy=\frac{\left(3m+1\right)\left(m-1\right)}{\left(m+1\right)^2}=\frac{3m^2-2m-1}{\left(m+1\right)^2}=\frac{-\left(m+1\right)^2+4m^2}{\left(m+1\right)^2}=-1+\frac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}\ge-1\)

\(\Rightarrow xy_{min}=-1\) khi \(m=0\)