a: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên \(AM=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)
Xét ΔBAM có
MA=MB
Do đó: ΔBAM cân tại M
Xét ΔMAB cân tại M có \(\widehat{MBA}=60^0\)
nên ΔMAB đều
b: ΔMAB đều
mà BH là đường cao
nên H là trung điểm của AM
Xét ΔHMN vuông tại H và ΔHAB vuông tại H có
HA=HM
\(\widehat{HMN}=\widehat{HAB}\)
Do đó: ΔHMN=ΔHAB
=>HN=HB
Xét tứ giác ABMN có
H là trung điểm chung của AM và BN
nên ABMN là hình bình hành
=>AN//MB và AN=MB
AN=MB
MB=MC
Do đó: AN=MC
AN//MB
\(M\in BC\)
Do đó: AN//MC
Xét tứ giác AMCN có
AN//CM
AN=CM
Do đó: AMCN là hình bình hành
Hình bình hành AMCN có AC\(\perp\)MN
nên AMCN là hình thoi
c: ABMN là hình bình hành
=>\(\widehat{NMB}+\widehat{MBA}=180^0\)
=>\(\widehat{NMB}=120^0\)
Hình bình hành ABMN có NB\(\perp\)AM
nên ABMN là hình thoi
Xét ΔNMB có \(\dfrac{NB}{sinNMB}=\dfrac{BM}{sinMNB}\)
=>\(\dfrac{NB}{sin120}=\dfrac{BM}{sin30}\)
=>\(NB=BM\cdot\sqrt{3}\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)
=>\(\dfrac{AC}{2\cdot BM}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(AC=BM\cdot\sqrt{3}\)
=>AC=NB
