Cho tam giác ÁC đều nội tiếp (O).Trên cung nhỏ AB lấy điểm M. Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N . Gọi D là giao điểm của AB và CM.Chứng minh rằng: 1/MA +1/MB =1/MD.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC và AC. Đường thẳng MN cắt cung nhỏ BC của đường tròn O tại P.
a) Chứng minh rằng tứ giác OMCN nội tiếp.
b) Gọi D là điểm bất kỳ trên AB D A D B , . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD cắt cạnh BC tại điểm
I khác B K; là giao điểm của hai đường thẳng DI và AC. Chứng minh rằng PK PB PC PD .
c) Gọi G là giao điểm khác P của AP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD, đường thẳng IG cắt AB tại
E. Chứng minh rằng D di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số AD
AE không đổi.
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (o). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M(M khác B,C và điểm giữa cung BC),gọi D là giao điểm của Ma và BC. Từ D kẻ DE,DF lần lượt vuông góc với các cạnh AB và AC (E thuộc AB,F thuộc AC).
1.Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp đường tròn
2.Gọi H là trung điểm của BC.Chứng minh HE = HF
3.Chứng minh 1/MD =1/MB + 1/MC
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm M sao cho MA > R. Vẽ tiếp tuyến MD của (O) (D là tiếp điểm và D khác A), gọi H là giao điểm của OM và AD.
a) Chứng minh: tứ giác MAOD nội tiếp và OH.OM = R^2.
b) Gọi C là giao điểm của MB với đường tròn (O). Chứng minh tứ giác AHCM nội tiếp và CHD = CAB.
c) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với OM. Đường thẳng d cắt tia MA tại I. Gọi K là trung điểm của OA và N là giao điểm của MK và IB. Chứng minh IK vuông góc MB.
Cho đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm trên đường tròn sao cho AC>AB. Trên dây cung AC lấy D sao cho AD = AB, đường thẳng D song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại E. Đường thẳng nối AE kéo dài cắt đường tròn tại F.
a) CM : F là điểm chính giữa của cung BC
b) CM : FB = FC = FD
c) Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc BAC của tam giác ABC. CM: tứ giác BDCJ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Câu 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, gọi AD là đường kính của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M, đường thẳng MO cắt AB và AC lần lượt tại E và F. 1) Chứng minh: MD^2 = MC.MB
2) Gọi H là trung điểm của BC, qua B vẽ đường thẳng song song với MO, đường thẳng này cắt AD tại P. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD đi qua P. 3) Chứng minh O là trung điểm của EFCho (O;R) và M sao cho OM =3R . Vẽ tiếp tuyến MA,MB và đường kính AB của (O) . C là giao điểm của MD với (O) , H là giao điểm của MO và AB .
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
b) Cm: MB^2 =MC.MD
c) Gọi K là giao điểm của MD và AB , I kaf trung điểm CD . Cm MI.MK = MC.MD suy ra 2/ MK = 1/MC+1/MD
d) Kéo dài BC cắt MO tại N . Tính diện tích tam giác AMN theo R
Cho đường tròn (O;R). Một đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm C ở ngoài đường tròn; C ∈ d và CB < CA, kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (M thuộc cung nhỏ AB). Gọi H là trung điểm của AB. Đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
a) Chứng minh KN.KC = KH.KO
b) Chứng minh 5 điểm O, H, C, M, N cùng thuộc một đường tròn.
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng điểm I cách đều ba cạnh của tam giác CMN.
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt CM và CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất
Cho đường tròn tâm O bán kính R . Một đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt A và B . Trên d lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B , từ M kẻ 2 tiếp tuyến MC và MD với đường tròn ( C và D là các tiếp điểm ).
a) Chứng minh rằng MCOD là tứ giác nội tiếp .
b) Gọi I là trung điểm của AB , đường thẳng IO cắt tia MD tại K . Chứng minh rằng KD.KM=KO.Ki
c) Một đường thẳng đi qua O và song song với CD cắt các tia MC và MD lần lượt tại E và F . Xác định vị trí của M trên d sao cho diện tích tam giác MEF đạt giá trị nhỏ nhất
Cho tam giác ABC cân ở C (góc C nhọn) , nội tiếp trong một đường tròn (O). Lấy bất kì
một điểm M trên cung nhỏ BC .
1/ Kẻ đường kính COK , chứng minh MK là tia phân giác của góc AMB .
2/ Trên tia AM lấy một điểm D sao cho BM = MD (M nằm giữa A và D) . Chứng minh MK
song song vói BD .
3/ Kéo dài CM cắt BD tại I , chứng minh :
a) I là trung điểm của BD .
b) MA+MB\(\le\)2AC
