Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lipid Alpha

HELP! Chứng minh

a, \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

b, \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)

tthnew
21 tháng 7 2019 lúc 19:20

Em thử nha, sai thì thôia) bình phương và rút gọn, ta cần chứng minh:

\(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)

Tới đây có thể áp dụng bđt bunhiacopki và thu được đpcm. Nếu không thì

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)-\left(ac+bd\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi ad = bc

Nguyễn Thành Trương
21 tháng 7 2019 lúc 19:22

\( a)\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \left( * \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}{{\left( {c + d} \right)}^2}} \ge {a^2} + 2ac + {c^2} + {b^2} + 2bd + {d^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \ge ac + bd\left( 1 \right) \)

Nếu \(ac+bd<0\) thì (1) đúng

Nếu \(ac+bd\ge0\) thì (1) \(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\) (đúng)

Dấu "=" của bất đẳng thức (*) xảy ra:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bd\ge0\\\left(ad-bc\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bd\ge0\\ab-bc=0\end{matrix}\right.\)

tthnew
21 tháng 7 2019 lúc 19:23

b. BĐT \(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2-4ab+2b^2\ge0\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Oái, sao đơn giản thế nhỉ?


Các câu hỏi tương tự
Mai Linh
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
Hoang Hung Quan
Xem chi tiết
Pham Thanh Thuong
Xem chi tiết
Trần Thiên Kim
Xem chi tiết
Nhàn Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Anh
Xem chi tiết
Chiều Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Anh
Xem chi tiết