Question

gpt \(log\left(\dfrac{3^x+2^x}{3x+2}\right)+3^x+2^x-3x-2=0\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow log\left(3^x+2^x\right)-log\left(3x+2\right)+3^x+2^x-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow log\left(3^x+2^x\right)+3^x+2^x=log\left(3x+2\right)+3x+2\)

Hàm \(f\left(t\right)=logt+t\) đồng biến khi \(t>0\)

\(\Rightarrow3^x+2^x=3x+2\)

\(\Leftrightarrow3^x+2^x-3x-2=0\)

Nhận thấy pt đã cho có 2 nghiệm \(x=\left\{0;1\right\}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3^x+2^x-3x-2\)

\(f'\left(x\right)=3^x.ln3+2^x.ln2-3\)

\(f''\left(x\right)=3^x.ln^23+2^x.ln^22>0;\forall x\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có tối đa 2 nghiệm

Vậy \(x=\left\{0;1\right\}\) là 2 nghiệm của pt đã cho