Question

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{5}m^2x^5-\dfrac{1}{3}mx^3+10x^2-\left(m^2-m-20\right)x+1\) đồng biến trên R, tích các phần tử của S là:

Answer 1

Ta có: \(f'\left(x\right)=m^2x^4-mx^2+20x-\left(m^2-m-20\right)\)

\(f'\left(x\right)=m^2x^4-mx^2+20x-\left(m^2-m-20\right)\)

\(=m^2\left(x^4-1\right)-m\left(x^2-1\right)+20\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(m^2\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)-m\left(x-1\right)+20\right)\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) luôn có 1 nghiệm \(x=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R khi \(m^2\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)-m\left(x-1\right)+20=0\) cũng có nghiệm \(x=-1\) (khi đó \(x=-1\) là nghiệm bội chẵn)

\(\Rightarrow-4m^2+2m+20=0\)

\(\Rightarrow m_1m_2=\dfrac{20}{-4}=-5\) theo Viet