Bài 24:
a/ Phương trình tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2):
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y-4=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-7\\y=-11\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-7;-11\right)\)
Để 3 đường thẳng đồng quy \(\Leftrightarrow\left(d_3\right)\) đi qua A
\(\Rightarrow m.\left(-7\right)+m+1=-11\Rightarrow m=2\)
b/ Phương trình tọa độ giao điểm B của (d1) và (d2):
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y+3=0\\-x-y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-1;2\right)\)
Tương tự câu trên:
\(2m.\left(-1\right)+m-1=2\Rightarrow m=-3\)
c/ Để 3 đường thẳng cắt nhau thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ne\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình tọa độ giao điểm C của (d2) và (d3):
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y-m=0\\mx-y-m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(0;-m\right)\)
Thay tọa độ C vào (d1):
\(2.0-1=-m\Rightarrow m=1\)
Bài 25:
Giả sử A là điểm thuộc Ox và B là điểm thuộc Oy
Gọi tọa độ A và B lần lượt là \(A\left(a;0\right)\) và \(B\left(0;b\right)\)
Do I là trung điểm AB
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2=\frac{a+0}{2}\\-1=\frac{b+0}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(4;0\right)\\B\left(0;-2\right)\end{matrix}\right.\)
b/ Gọi pt (d) có dạng \(y=ax+b\)
Do (d) đi qua A và B nên ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a.4+b=0\\0.a+b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-2\)
Bài 26:
a/ Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Rightarrow y_0=mx_0-2-4m\) \(\forall m\)
\(\Leftrightarrow m\left(x_0-4\right)-\left(y_0+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-4=0\\y_0+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=4\\y_0=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(4;-2\right)\)
b/ Tương tự như trên, gọi tọa độ các điểm mà đồ thị không bao giờ đi qua là \(M\left(x_1;y_1\right)\)
\(\Rightarrow y_1\ne mx_1-2-4m\) \(\forall m\)
\(\Leftrightarrow m\left(x_1-4\right)-\left(y_1+2\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-4=0\\y_1+2\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\y_1\ne-2\end{matrix}\right.\)
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng \(x=4\) ngoại trừ điểm \(A\left(4;-2\right)\)
Bài 27:
a/ Gọi pt đường thẳng (d') cần tìm là \(y=ax+b\)
Do (d') song song (d) và qua A nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\a.1+b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=2x\)
b/ Gọi pt (d1) cần tìm là \(y=cx+d\)
Do (d1) vuông góc (d) và đi qua A nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}a.2=-1\\a.1+b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{1}{2}\\b=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)
c và d bạn tự giải
Bài 32:
a/ Do (P) qua A và B nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=2\\2^2+b.2+c=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-b+c=2\\2b+c=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1\\c=1\end{matrix}\right.\)
b/ Hàm số đạt GTNN bằng 1 khi x=1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{-b}{2.1}=1\\\frac{4.1.c-b^2}{4.1}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2\\c=\frac{b^2+4}{4}=2\end{matrix}\right.\)
Bài 33:
a/ Theo đề bài ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a.1^2+b.1+c=0\\a.3^2+b.3+c=0\\a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=0\\9a+3b+c=0\\a-b+c=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-4\\c=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=x^2-4x+3\)
b/ Bạn tự giải
c/ \(x^2-4\left|x\right|+m=0\)
\(\Leftrightarrow\left|x\right|^2-4\left|x\right|+3=3-m\)
Xét giao điểm của \(y=\left|x\right|^2-4\left|x\right|+3\) và đường thẳng \(y=3-m\)
Ta có đồ thị hàm \(y=\left|x\right|^2-4\left|x\right|+3\) như dưới đây (là đồ thị của hàm \(y=x^2-4x+3\) bỏ phần bên trái Oy và lấy đối xứng phần bên phải Oy qua):
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
- Với \(3-m< -1\Leftrightarrow m>4\) thì \(y=3-m\) ko cắt \(y=\left|x\right|^2-4\left|x\right|+3\) hay pt đã cho vô nghiệm
- Với \(3-m=-1\Leftrightarrow m=4\) thì pt có 2 nghiệm
- Với \(-1< 3-m< 3\) hay \(0< m< 4\) thì pt có 4 nghiệm
- Với \(3-m=3\Leftrightarrow m=0\) thì pt có 3 nghiệm
- Với \(3-m>3\Leftrightarrow m< 0\) thì pt có 2 nghiệm
